数学知识

<!-- #include-env-start: D:/code/klc/test/share4ai/docs/book/dive_into_on_dl/dl_basic -->
```python
import torch

# 标量计算
x = torch.tensor([3.0])
y = torch.tensor([2.0])

x + y, x * y, x / y, x**y

(tensor([5.]), tensor([6.]), tensor([1.5000]), tensor([9.]))

# 将向量视为标量值组成的列表
x = torch.arange(4)
x

tensor([0, 1, 2, 3])

# 通过张量的索引来访问任一元素
x[3]

tensor(3)

# 形状、大小、数据类型、维度
x.shape,x.size(),x.dtype,x.dim()

(torch.Size([4]), torch.Size([4]), torch.int64, 1)

# 通过指定两个分量 m 和 n来创建一个形状为m×n的矩阵
A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
A

tensor([[ 0,  1,  2,  3],
        [ 4,  5,  6,  7],
        [ 8,  9, 10, 11],
        [12, 13, 14, 15],
        [16, 17, 18, 19]])

# 矩阵的转置
A.T

tensor([[ 0,  4,  8, 12, 16],
        [ 1,  5,  9, 13, 17],
        [ 2,  6, 10, 14, 18],
        [ 3,  7, 11, 15, 19]])

# 对称矩阵（symmetric matrix）A等于其转置：A=A⊤
B = torch.tensor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
B

tensor([[1, 2, 3],
        [2, 0, 4],
        [3, 4, 5]])

B == B.T

tensor([[True, True, True],
        [True, True, True],
        [True, True, True]])

# 更多轴的数据结构
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
X

tensor([[[ 0,  1,  2,  3],
         [ 4,  5,  6,  7],
         [ 8,  9, 10, 11]],

        [[12, 13, 14, 15],
         [16, 17, 18, 19],
         [20, 21, 22, 23]]])

# 给定具有相同形状的任意两个张量，任何按元素二元运算的结果都将是相同形状的张量
A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = A.clone()
A, A + B

(tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.],
         [12., 13., 14., 15.],
         [16., 17., 18., 19.]]),
 tensor([[ 0.,  2.,  4.,  6.],
         [ 8., 10., 12., 14.],
         [16., 18., 20., 22.],
         [24., 26., 28., 30.],
         [32., 34., 36., 38.]]))

A,B

(tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.],
         [12., 13., 14., 15.],
         [16., 17., 18., 19.]]),
 tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.],
         [12., 13., 14., 15.],
         [16., 17., 18., 19.]]))

# 两个矩阵的按元素乘法称为哈达玛积（Hadamard product）（数学符号⊙）
A * B

tensor([[  0.,   1.,   4.,   9.],
        [ 16.,  25.,  36.,  49.],
        [ 64.,  81., 100., 121.],
        [144., 169., 196., 225.],
        [256., 289., 324., 361.]])

# 按元素加
a = 2
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
X,a + X

(tensor([[[ 0,  1,  2,  3],
          [ 4,  5,  6,  7],
          [ 8,  9, 10, 11]],
 
         [[12, 13, 14, 15],
          [16, 17, 18, 19],
          [20, 21, 22, 23]]]),
 tensor([[[ 2,  3,  4,  5],
          [ 6,  7,  8,  9],
          [10, 11, 12, 13]],
 
         [[14, 15, 16, 17],
          [18, 19, 20, 21],
          [22, 23, 24, 25]]]))

# 计算其元素的和
x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
x, x.sum()

(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor(6.))

# 表示任意形状张量的元素和
A.shape, A.sum()

(torch.Size([5, 4]), tensor(190.))

# 指定张量沿哪一个轴来通过求和降低维度
A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape

(tensor([40., 45., 50., 55.]), torch.Size([4]))

A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape

(tensor([ 6., 22., 38., 54., 70.]), torch.Size([5]))

A.sum(axis=[0, 1])

tensor(190.)

# 一个与求和相关的量是平均值，numel()表示元素总数
A.mean(), A.sum() / A.numel()

(tensor(9.5000), tensor(9.5000))

A.mean(axis=0), A.sum(axis=0) / A.shape[0]

(tensor([ 8.,  9., 10., 11.]), tensor([ 8.,  9., 10., 11.]))

# 计算总和或均值时保持轴数不变
A.sum(axis=1, keepdims=False),A.sum(axis=1, keepdims=True)

(tensor([ 6., 22., 38., 54., 70.]),
 tensor([[ 6.],
         [22.],
         [38.],
         [54.],
         [70.]]))

# 用于计算沿指定轴的累积和
A,A.cumsum(axis=0)

(tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.],
         [12., 13., 14., 15.],
         [16., 17., 18., 19.]]),
 tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  6.,  8., 10.],
         [12., 15., 18., 21.],
         [24., 28., 32., 36.],
         [40., 45., 50., 55.]]))

# 点积是相同位置的按元素乘积的和
y = torch.ones(4, dtype=torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)

(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor([1., 1., 1., 1.]), tensor(6.))

# 可以通过执行按元素乘法，然后进行求和来表示两个向量的点积
torch.sum(x * y)

tensor(6.)

# 矩阵乘法
A1 = torch.tensor([[1, 2],
                  [3, 4]], dtype=torch.float32)   # shape: (2, 2)

B1 = torch.tensor([[5, 6],
                  [7, 8]], dtype=torch.float32)   # shape: (2, 2)

torch.mm(A1, B1)

tensor([[19., 22.],
        [43., 50.]])

<!-- #include-env-start: D:/code/klc/test/share4ai/docs/book/dive_into_on_dl/dl_basic -->
```python
import torch

print('广播机制')
a = torch.arange(3).reshape(3, 1)
b = torch.arange(2).reshape(1, 2)
print('a:', a)
print('b:', b)
print('a + b:', a + b)  # 神奇的广播运算

广播机制
a: tensor([[0],
        [1],
        [2]])
b: tensor([[0, 1]])
a + b: tensor([[0, 1],
        [1, 2],
        [2, 3]])

X = torch.arange(12, dtype=torch.float32).reshape(3, 4)
Y = torch.tensor([[2.0, 1, 4, 3], [1, 2, 3, 4], [4, 3, 2, 1]])
print('节约内存')
before = id(Y)  # id()函数提供了内存中引用对象的确切地址
Y = Y + X
print(id(Y) == before)

before = id(X)
X += Y
print(id(X) == before)  # 使用 X[:] = X + Y 或 X += Y 来减少操作的内存开销。

节约内存
False
True

X = torch.arange(12, dtype=torch.float32).reshape(3, 4)
Y = torch.tensor([[2.0, 1, 4, 3], [1, 2, 3, 4], [4, 3, 2, 1]])
print('cat操作 dim=0', torch.cat((X, Y), dim=0))
print('cat操作 dim=1', torch.cat((X, Y), dim=1))  # 连结（concatenate） ,将它们端到端堆叠以形成更大的张量。

cat操作 dim=0 tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
        [ 4.,  5.,  6.,  7.],
        [ 8.,  9., 10., 11.],
        [ 2.,  1.,  4.,  3.],
        [ 1.,  2.,  3.,  4.],
        [ 4.,  3.,  2.,  1.]])
cat操作 dim=1 tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.,  2.,  1.,  4.,  3.],
        [ 4.,  5.,  6.,  7.,  1.,  2.,  3.,  4.],
        [ 8.,  9., 10., 11.,  4.,  3.,  2.,  1.]])

print('1.自动梯度计算')
x = torch.arange(4.0, requires_grad=True)  # 1.将梯度附加到想要对其计算偏导数的变量
print('x:', x)
print('x.grad:', x.grad)
y = 2 * torch.dot(x, x)  # 2.记录目标值的计算
print('y:', y)
y.backward()  # 3.执行它的反向传播函数
print('x.grad:', x.grad)  # 4.访问得到的梯度
print('x.grad == 4*x:', x.grad == 4 * x)

## 计算另一个函数
x.grad.zero_()
y = x.sum()
print('y:', y)
y.backward()
print('x.grad:', x.grad)

# 非标量变量的反向传播
x.grad.zero_()
print('x:', x)
y = x * x
y.sum().backward()
print('x.grad:', x.grad)

1.自动梯度计算
x: tensor([0., 1., 2., 3.], requires_grad=True)
x.grad: None
y: tensor(28., grad_fn=<MulBackward0>)
x.grad: tensor([ 0.,  4.,  8., 12.])
x.grad == 4*x: tensor([True, True, True, True])
y: tensor(6., grad_fn=<SumBackward0>)
x.grad: tensor([1., 1., 1., 1.])
x: tensor([0., 1., 2., 3.], requires_grad=True)
x.grad: tensor([0., 2., 4., 6.])